Курсы подготовки к олимпиадам по программированию

Формат: Видеоуроки в записи

Особенности: Подготовьтесь к ЕГЭ по информатике на максимальный балл: систематизируйте знания, разберите самые сложные задания и научитесь эффективно решать их, чтобы уверенно сдать экзамен и поступить в ВУЗ мечты. Интенсивное обучение под руководством опытного эксперта позволит вам освоить все темы кодификатора, заполнить пробелы и проработать практические навыки, необходимые для успешной аттестации.

Занятий: 30 уроков

Формат: Онлайн и офлайн уроки

Особенности: Научитесь решать олимпиадные задачи по программированию, прокачаете алгоритмическое мышление и получите преимущество при поступлении в ведущие вузы, освоив Python и C++ под руководством опытных преподавателей. Присоединяйтесь к онлайн-курсу и сделайте первый шаг к победе на престижных соревнованиях.

Формат: Лекции онлайн, видеоуроки в записи

Особенности: Готовьтесь к олимпиадам по информатике с опытными преподавателями, чтобы систематизировать знания, освоить алгоритмы и структуры данных, повысить шансы на победу и успешное поступление в ведущие вузы. Получите глубокие знания и практические навыки, необходимые для решения самых сложных олимпиадных задач.

Занятий: Пакет из 4 занятий (480 мин.)

Формат: Онлайн-уроки, видеоуроки в записи

Особенности: Изучите основы программирования в Python, чтобы создавать свои первые программы, освоить базовые алгоритмы и развить логическое мышление, необходимое для успешного старта в IT-сфере. Получите практические навыки, выполняя домашние задания и участвуя в вебинарах с опытными преподавателями, и заложите прочный фундамент для дальнейшего изучения более сложных технологий.

Занятий: 4 курса

Формат: Онлайн-уроки, видеоуроки в записи

Особенности: Освойте профессию учителя в начальной школе и получите все необходимые навыки для эффективного преподавания, включая работу с образовательными стандартами, методики обучения и воспитания младших школьников, а также приемы создания развивающей среды в классе. Пройдя этот курс, вы сможете успешно применять современные педагогические технологии, научитесь выстраивать продуктивное взаимодействие с родителями и станете квалифицированным специалистом, готовым к вызовам современного образования. Условие: Рассмотрим конечную абелеву группу $G$. Если $p$ - простое число, то $G(p)$ - силовская $p$-подгруппа группы $G$. Обозначим подгруппу $Omega_n(G)$ через $Omega_n(G) = {g in G | g^{p^n}=e}$. Докажите, что $Omega_n(G) = bigoplus_{p text{ - простое}} Omega_n(G(p))$. Доказательство: Пусть $|G| = p_1^{e_1} cdots p_k^{e_k}$ будет разложением порядка группы $G$ на простые сомножители, где $p_1, ldots, p_k$ - различные простые числа. По теореме о структуре конечных абелевых групп, группа $G$ разлагается в прямую сумму своих силовских подгрупп: $$G = G(p_1) oplus G(p_2) oplus cdots oplus G(p_k) = bigoplus_{i=1}^k G(p_i),$$ где $G(p_i)$ - силовская $p_i$-подгруппа группы $G$. Любой элемент $g in G$ может быть однозначно представлен в виде: $$g = g_1 + g_2 + cdots + g_k,$$ где $g_i in G(p_i)$ для $i=1, ldots, k$. Порядок элемента $g_i in G(p_i)$ является степенью $p_i$. Порядок элемента $g$ равен наименьшему общему кратному порядков элементов $g_1, ldots, g_k$. Теперь рассмотрим элемент $g in Omega_n(G)$. По определению это означает, что $g^{p^n} = e$. В аддитивной записи это $p^n g = 0$, или: $$p^n (g_1 + g_2 + cdots + g_k) = 0.$$ Поскольку $G$ является прямой суммой, и $g_i in G(p_i)$, имеем: $$p^n g_1 + p^n g_2 + cdots + p^n g_k = 0.$$ Единственность представления элемента в прямой сумме означает, что каждый сомножитель должен быть равен нулю: $$p^n g_i = 0 text{ для всех } i=1, ldots, k.$$ Рассмотрим это условие для каждого $i$. Случай 1: $p_i = p$ (т.е. $p_i$ - то же самое простое число, что и $p$ в определении $Omega_n(G)$). Тогда $g_i in G(p)$ и $p^n g_i = 0$. По определению, это означает, что $g_i in Omega_n(G(p))$. Случай 2: $p_i ne p$. Тогда $p$ и $p_i$ - различные простые числа. Поскольку $text{ord}(g_i)$ является степенью $p_i$, и $p^n g_i = 0$, мы должны показать, что $g_i = 0$. Пусть $text{ord}(g_i) = p_i^{m_i}$, где $m_i ge 0$. Так как $p^n g_i = 0$, то $p_i^{m_i}$ делит $p^n$. Но $p_i$ и $p$ различны, следовательно, $p_i$ не может делить $p^n$, если $m_i > 0$. Единственный способ, которым $p_i^{m_i}$ может делить $p^n$, - это когда $m_i = 0$. Если $m_i = 0$, то $text{ord}(g_i) = p_i^0 = 1$, что означает $g_i = e$ (или $g_i=0$ в аддитивной записи). Таким образом, $g_i = 0$ для всех $p_i ne p$. Следовательно, если $g = g_1 + g_2 + cdots + g_k in Omega_n(G)$, то только компонент $g_j$, для которого $p_j = p$, может быть ненулевым. Все остальные компоненты $g_i$ (где $p_i ne p$) должны быть нулевыми. Обозначим $G(p)$ как $G(p_j)$, где $p_j = p$. Тогда $g = g_j$. При этом, $g in G(p)$ и $g^{p^n} = e$, что означает $g in Omega_n(G(p))$. Таким образом, мы показали, что если $g in Omega_n(G)$, то $g$ принадлежит той силовской подгруппе $G(p)$, которая соответствует простому числу $p$, и $g$ является элементом порядка, делящего $p^n$, в этой подгруппе. То есть, $Omega_n(G) subseteq Omega_n(G(p))$. Теперь рассмотрим обратное включение, т.е. элемент из $bigoplus_{p text{ - простое}} Omega_n(G(p))$. $Omega_n(G(p))$ - это подгруппа $G(p)$. В разложении $G = bigoplus_{i=1}^k G(p_i)$, только один из $G(p_i)$ может быть $G(p)$. Если $p$ - одно из $p_i$, скажем $p=p_j$. Тогда $Omega_n(G(p))$ является подгруппой $G(p_j)$, а для $p_i ne p$, $Omega_n(G(p_i)) = {e}$ (поскольку порядок элемента в $G(p_i)$ является степенью $p_i$, и $p_i$ не делит $p^n$, кроме случая $p_i^0=1$). Тогда прямая сумма $bigoplus_{p text{ - простое}} Omega_n(G(p))$ равна $Omega_n(G(p))$ (поскольку для всех $p_i ne p$, $Omega_n(G(p_i))$ содержит только нулевой элемент). Пусть $h in Omega_n(G(p))$. Тогда $h in G(p)$, и $h^{p^n} = e$. Поскольку $G(p)$ является подгруппой $G$, то $h in G$. По определению $Omega_n(G)$, элемент $h in G$ такой, что $h^{p^n} = e$ принадлежит $Omega_n(G)$. Следовательно, $Omega_n(G(p)) subseteq Omega_n(G)$. Объединяя оба утверждения, получаем: $$Omega_n(G) = Omega_n(G(p)) = bigoplus_{p text{ - простое}} Omega_n(G(p)).$$ (Примечание: В общем случае, если $G = H oplus K$, то $n$-кручение $Omega_n(G)$ относительно фиксированного простого $p$ равно $Omega_n(H) oplus Omega_n(K)$, но здесь нас интересует элемент $g^{p^n}=e$. Так как $G(p_i)$ имеет порядок, взаимно простой с $p^n$ для $p_i ne p$, то $Omega_n(G(p_i)) = {e}$.) Таким образом, хотя суммирование формально ведется по всем простым числам $p'$, в разложении $G = bigoplus G(p')$, только одно слагаемое (соответствующее данному $p$) остается ненулевым: $$bigoplus_{p' text{ - простое}} Omega_n(G(p')) = Omega_n(G(p)) oplus bigoplus_{p' ne p} Omega_n(G(p')) = Omega_n(G(p)) oplus {0} = Omega_n(G(p)).$$ И поскольку мы показали, что $Omega_n(G) = Omega_n(G(p))$, то: $$Omega_n(G) = bigoplus_{p' text{ - простое}} Omega_n(G(p')).$$

Занятий: 30 уроков

Формат: Онлайн-уроки, видеоуроки в записи

Особенности: Начните свой путь в программировании с нуля и освойте Python, чтобы создавать программы, работать с базами данных и решать реальные задачи, а по итогам курса вы получите диплом и портфолио для успешного старта карьеры IT-специалиста. Курс включает практические задания, вебинары с экспертами и поддержку наставников, гарантируя глубокие знания и уверенность в применении полученных навыков.

Занятий: 30 занятий